Samuel Gitler

Me dedico a hacer investigación en una de las ramas más fascinantes de las matemáticas, la topología algebraica, geometría que se creó en el siglo XX. Estudia propiedades intrínsecas de espacios de cualquier dimensión.

Samuel Gitler

(tomado de universo.math http://universo.math.org.mx/2015-1/Samuel-Gitler/Samuel-Gitler.html)

La obra matemática de Sam Gitler es una de los trabajos más notables dentro de la ciencia mexicana del siglo XX. Sam Gitler, junto con José Ádem, fue el fundador de la moderna escuela matemática mexicana en topología algebraica y fue capaz de sostener altísimos estándares en la investigación matemática en México durante décadas; si consideramos que lo consiguió en una época sin internet y sorteando graves y repetidas crisis económicas, el logro es impresionante dado que el aislamiento era considerable. Ambos fueron “los padres fundadores” del Departamento de Matemáticas del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del IPN (Instituto Politécnico Nacional), uno de los departamentos de matemáticas más importantes de América Latina. Aun cuando publicó en muchas de las revistas internacionales de matemáticas más prestigiosas, es de resaltar que muchos de sus artículos aparecieron en el Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, consolidando una respetable posición para la topología, porque ésta, la topología, era la pasión intelectual en la vida de Gitler; la topología algebraica.

 

 Este texto es meramente una exploración de su notable vida y de su obra matemática.

Samuel Gitler nació un 14 de julio de 1933. Sus padres (polacos) realizaron el viaje trasatlántico con Samuel en el vientre de su madre, justo a tiempo para que Samuel naciera en tierras mexicanas. La salida de Polonia había sido muy afortunada ya que su familia era judía; también, su llegada a México fue una fortuna para México, que así se hizo de uno de sus científicos más prominentes. Su madre falleció cuando él era un niño de pocos años. Su infancia transcurrió dentro del ambiente bohemio de la casa de sus abuelos.

Cuando terminó su primaria, su padre lo envió a San Antonio, Texas para que cursara allá la secundaria. Es ahí donde descubre su talento y su amor por las matemáticas: su maestro de matemáticas lo pondría de ejemplo señalando que, aun sin hablar inglés, era el mejor en matemáticas. 

 Regresó a México a estudiar la preparatoria en 1947, en la connotada Escuela Nacional Preparatoria en el hermoso edificio colonial conocido como el Antiguo Colegio de San Ildefonso en el centro de la Ciudad de México. Un reconocido maestro de lógica de la escuela (Elí de Gortari) proféticamente inició a Gitler en la topología cuando le dio un texto sobre la materia advirtiéndole que se quedaría prendado del tema. Fue aquí, también, donde conoció a Raquel Goldwain, su compañera de vida.

En 1952, Gitler entró a la Escuela Nacional de Ingenieros de la Universidad Nacional Autónoma de México; una de las primeras clases que tomó fue un propedéutico en cálculo impartido por el matemático mexicano Emilio Luis Riera, quien le sugirió a Gitler que debía estudiar la licenciatura en matemáticas; siguió el consejo y, un año después, ya estaba enseñando matemáticas en la Escuela de Ingenieros y estudiando dos licenciaturas a la par: ingeniería y matemáticas y era el único estudiante de matemáticas en la UNAM para esta carrera. Aunque, al principio, las dos carreras se ubicaban en el mismo campus, la de matemáticas fue trasladada al nuevo campus de Ciudad Universitaria, al sur de la ciudad, al año siguiente, por lo que se vio obligado a pasar todo el día cruzando la ciudad: por las mañanas, los cursos de ingeniería; después, enseñar matemáticas en la Escuela de Ingenieros y, para rematar la jornada, hasta las 10 de la noche, estudiar matemáticas en C.U.; no fue suficiente con ello: decidió terminar la carrera de ingeniería en sólo cuatro años, así que tuvo que dedicarse a ello. Se recibió con honores como ingeniero con una tesis asesorada por el Ing. Heberto Castillo (quien se convertiría en una importante figura política mexicana con el pasar de los años). 

Fue en Ciudad Universitaria donde Gitler conoció a Solomon Lefschetz, el gran topólogo que, desde 1944, solía visitar México con frecuencia. Durante sus largas estancias en México, después de su retiro como investigador en Princeton, inició el desarrollo de las matemáticas contemporáneas en México. Fue él, junto con José Ádem, quien le recomendó que hiciera su doctorado en Princeton: con flamante esposa, en septiembre de 1956, abandonó México rumbo a Princeton. Allí, su asesor fue Norman Steenrod, antiguo estudiante de Lefschetz y también asesor de José Ádem y Humberto Cárdenas. Gitler obtuvo su doctorado en matemáticas en enero de 1960 y, el mismo año, inició su estancia posdoctoral en Brandeis, Boston. Fue allí donde conoció a Edgar H. Brown y a Arnold Shapiro. Regresó a México en 1961 para fundar, junto con Ádem, el Departamento de Matemáticas del Cinvestav (17 de abril de 1961). No es fácil imaginar el aislamiento de un recién iniciado departamento de matemáticas en una zona en ese tiempo lejana al centro de la ciudad con poco acceso a revistas científicas, y sin internet, por supuesto. Aun así, Ádem y Gitler se volvieron nombres familiares en el campo de la topología algebraica en el ámbito internacional y se las arreglaron para fundar y consolidar un departamento de matemáticas que, durante su primera década, formó 50 maestros y 15 doctores.

 Uno de los problemas de gran interés en los cincuenta era el de la clasificación de los encajes (embeddings) e inmersiones (immersions) de una variedad suave dentro de otra. Y éste era, precisamente, el tema de interés favorito de la carrera temprana del joven Gitler: los primeros 15 años de su vida se centraron en esta cuestión.

Gitler atacó el problema de la inmersión de espacios proyectivos RPn dentro del espacio euclidiano RN. En 1901, David Hilbert le pidió a su estudiante, Werner Boy, demostrar que era imposible encontrar una inmersión del espacio proyectivo real de dimensión dos RP2 en R3. Hilbert hubo de sorprenderse cuando Boy halló tal inmersión. Además del teorema de encajes de Whitney (cada n-variedad admite un encaje dentro de R2n) y del resultado de Boy, al comienzos de la investigación de Gitler para la solución del problema, no se conocían más inmersiones explícitas. Gracias a lo que, independiente y simultáneamente, trabajaban Stiefel y Whitney sobre las clases características en los treinta, se sabía que, en el caso en que la dimensión n del espacio proyectivo en cuestión fuera una potencia de dos, entonces, la inmersión de Whitney era óptima (así como la de Boy): es imposible sumergir RP2k dentro de R2k+12. En los sesenta, hubo una avalancha de contribuciones al problema y fueron Ádem, Gitler y Mahowald los líderes en ese campo. Permítanos destacar que:  

  • Hasta ahora y, a pesar de todos los intentos, sólo siete familias de inmersiones óptimas se conocen (junto con dos inmersiones óptimas especiales: RP31R53, y RP63R115).
  • El trabajo de Gitler y sus colaboradores fue esencial para establecer tres de estas siete familias (y dos de las inmersiones especiales anteriores).
  • Fue hasta su cuarta colaboración cuando Ádem y Gitler establecieron la tercera familia de encaje óptimo (en términos cronológicos): la primera familia fue la de Whitney y la segunda fue recientemente descubierta por Brian Sanderson.
  • De 1963 a 1969, Gitler publicó un artículo al año que trataba este problema.
  • Tres de estos documentos tratan sobre las familias óptimas; Neeta Singh comprobó la optimalidad de estas familias en 2004.

Durante la primera década de su carrera, Gitler también se interesó en las variedades PVn,k proyectivas de Stiefel, definidas ahora: dados los números naturales k,n con kn, la variedad PVn,k de Stiefel esta dada por el conjunto de k-tuplas ortonormales (v1,,vk) de n-vectores unitarios considerado como un subespacio de Rnk; la variedad proyectiva PVn,k se obtiene al proyectar Vn,k dentro de RPnk1, lo que implica identificar (v1,,vk)con (v1,,vk). Las variedades clásicas de Stiefel fueron fundamentales para el trabajo de Morris Hirsch sobre la clasificación de inmersiones de variedades. Las ideas de Hirsch se basaron en el trabajo anterior de Stephen Smale quien, a finales de los cincuenta, probó que la clasificación de las inmersiones euclidianas de esferas se resuelve en los términos de grupos de homotopía de las variedades de Stiefel; por ejemplo, el grupo que clasifica inmersiones tri-dimensionales de la esfera bi-dimensional es trivial, por lo que voltear de adentro hacia afuera la esfera bi-dimensional es posible a traves de inmersiónes en R3

A mediados de los sesenta, William Browder y Paul Baum empezaron a utilizar cocientes de grupos de Lie clásicos por subgrupos finitos para resolver el problema de inmersión para espacios proyectivos. Este enfoque fue revisado y utilizado con gran éxito en 1968, cuando Gitler publicó en Topology dos artículos decisivos en los que presenta el uso de variedades PVn,k. A partir de ese momento, ocurrió un vertiginoso desarrollo sobre el tema, por su aplicación al problema de inmersiones y por el interés intrínseco de estos objetos. Por ejemplo, mientras que el invariante unitario de Hopf nos dice que solamente hay tres variedades Vn,1 con haz tangente trivial (para n=2,4,8), Sutherland probó, a mediados de los años sesenta, que todas las variedades Vn,k, con k>1admiten el número máximo posible de campos tangentes linearmente independientes, pero el caso es diferente para las versiones proyectivas PVn,k, porque éstas heredan las mismas propiedades para las secciones del haz tangente que tienen Vn,k, sólo para el caso k=1. De hecho, Gitler y sus colaboradores identificaron y clasificaron casi todas las variedades proyectivas de Stiefel con haz tangente trivial (el único caso que no se ha resuelto esPV12,9.). Los resultados de Gitler impulsaron una considerable actividad alrededor del tema durante la década subsecuente. 

La obra de Ádem y Gitler sobre inmersiones propició la siguiente etapa en la carrera de Gitler. Permítanos delinear el contexto para sus contribuciones siguientes: a principios de los cincuenta, Mikhail Postnikov ideó un método para recuperar el tipo homotópico de un espacio desde sus grupos de homotopía (John Moore refinó este método a finales de la misma década al generar una extensión natural de la teoría de espacios de homotopía donde no solamente el grupo fundamental, sino todos los grupos homotópicos juegan ahora un papel importante). La teoría resultante, aunque poderosa, es muy difícil de usar en ejemplos concretos. Al final de los sesenta, Gitler (junto con Mahowald) modificó aún más los métodos de Moore al usar álgebra homológica. El resultado devino en un método muy flexible para evaluar operaciones homológicas elevadas.

La experiencia de Gitler con respecto a ese trabajo propició resultados importantes en un tiempo muy breve. Cuando Gitler tenía 38 años, en el verano de 1972, el Cinvestav albergó (como profesor visitante) a Edgar H. Brown, de Brandeis; ellos trabajaron juntos todo ese verano en la Ciudad de México. El producto de esa colaboración fue el artículo, publicado en Topology, titulado A Spectrum whose Cohomology is a certain Cyclic Module over the Steenrod Algebra, una de las obras más notables de la topología algebraica del siglo XX. Se convirtió en pieza fundamental de la teoría de homotopía moderna yendo más allá de su motivación original. 

 La motivación original del trabajo era muy ambiciosa: estudiar la naturaleza de las obstrucciones de orden más alto que aparecían en el problema de inmersión general para las variedades. El resultado fue una familia de teorías de cohomología generalizadas en la cual todas las variedades son orientables pero, a diferencia de la cohomología mod 2, la orientabilidad se obtiene de la manera más limpia posible, a saber: mientras que la orientabilidad mod 2 asciende a los espectros Brown-Gitler, todas las operaciones Steenrod que se desvanecen en la clase Thom del haz normal a cualquier variedad, se desvanecen también en la cohomología mod 2 de los espectros Brown-Gitler.

Los espectros Brown-Gitler jugaron un papel importante en varios famosos desarrollos dentro de la topología algebraica. El primer ejemplo es la conjetura de inmersión que establece que toda variedad admite una inmersión euclidiana en R2nα(n), donde α(n) es el número sobre unos en la expansión diádica de n. En la solución de este problema, por Ralph Cohen, publicado en el Annals of Mathematics, los espectros Brown-Gitler juegan un papel importante en un paso clave para identificar el tipo de homotopía del espacio que clasifica los haces normales a las variedades de una dimensión dada cuando persistimos en ignorar las clases características que no detectan tales haces. 

La segunda aplicación importante de los espectros Brown-Gitler fue para la solución de uno de los problemas más significativos dentro de la teoría de homotopía durante los ochenta: la llamada conjetura de Sullivan. En una de sus muchas formas, este resultado describe la naturaleza homotópica de un espacio de funciones que va desde la el espacio clasificante de un grupo discreto hasta un espacio iterado de lazos de un complejo celular finito. La conjetura afirma que, en lo que se refiere a la homotopía, nos quedamos sólo con las funciones constantes. Haynes Miller comprobó la conjetura de Sullivan al usar la sucesión espectral de Adams que calcula los grupos homotópicos de los espacios de funciones en juego. La evaluación del término inicial de la sucesión espectral de Adams requiere, a su vez, la utilización de varias sucesiones espectrales auxiliares. Miller utilizó los espectros Brown-Gitler para demostrar que, en realidad, la primera de esta sucesión espectral se colapsa después de la primera diferencial. La conjetura de Sullivan implica la solución a una famosa conjetura propuesta en los cincuenta por Serre cuando expandía su estudio acerca de la torsión en los grupos homotópicos de las esferas. La conjetura de Serre se refiere al hecho de que cualquier complejo celular finito simplemente conexo y cuya homología contenga una torsión primaria sólo en un número finito de dimensiones (como es en el caso de las esferas), necesariamente tendrán una infinidad de grupos homotópicos con la misma torsión primaria.

 La lista de aplicaciones de los espectros Brown-Gitler y de los métodos desarrollados para su construcción es muy amplia y se ubica en el corazón de muchos de los desarrollos más espectaculares de la teoría de homotopía de las últimas décadas; la finitud de elementos con invariantes unitarios de Hopf por Adams, el contraejemplo de Mahowald de finales de los setenta a la conjetura de Joel Cohen y, más recientemente, en 2009, las soluciones de Hill, Hopkins y Ravenel del problema de las invariantes de Kervaire, entre muchos otros.

En 1983, George W. Whitehead publicó un estudio histórico en el Bulletin of the American Mathematical Societydonde enlista los cien artículos más relevantes de la teoría de homotopía hasta esa fecha, y el de Brown-Gitler aparece ahí como parte de uno de los momentos más refulgentes de la teoría de homotopía de la década. En 1985, la Sociedad Americana de Matemáticas (American Mathematical Society) organizó un simposio sobre los espectros Brown-Gitler.

La Universidad de Rochester invitó a Sam Gitler para ser el jefe de su departamento de matemáticas e, impulsado, además, por otra crisis económica en México, él abandonó el país rumbo a Rochester. Ahí, consolidó uno de los grupos más reconocidos sobre topología del mundo. El interés de Gitler giró en torno a muchos temas después de eso que abarcaron las súper variedades, la fórmula Riemann-Hurwitz, etc.; más aún, dos de estos trabajos merecen especial atención.

Finalmente, no es posible pasar desapercibido el último y bello trabajo de Gitler, que empezó en 2009, a los 76 años, y que continuó hasta su deceso en la Ciudad de México, que ocurrió el 9 de septiembre de 2014, cuando tenía 81 años de edad.  

Este trabajo se relaciona con la topología de complejos de ángulos de momento y sus generalizaciones como espacios de productos poliédricos. Los complejos de ángulos de momento son encarnaciones de espacios que aparecen en la descripción de la teoría de invariante geométrica de variedades tóricas en la geometría algebraica. Höchster ha estudiado la cohomología de estos espacios en el caso clásico mediante métodos de álgebra conmutativa. La primera contribución al tema de Gitler y sus colaboradores (Bahri, Bendersky y Fred Cohen) fue publicada en el Proceedings of the National Academy of Sciences en 2009 y consiste en elevar el resultado de Höchster a una afirmación en teoría de homotopía mucho más fuerte sobre la descomposición (ligeramente) estable del complejo de ángulo de momentos. Lo que es de llamar la atención es que su comprobación es muy sencilla, mucho más que el argumento original en homología. Sus descomposiciones son functoriales e, inmediatamente, implican una descomposición adicional del anillo de Stanley-Reisner de un complejo simplicial finito. Gitler continuó aplicándose, junto con Santiago López de Medrano, al análisis de las intersecciones cuádricas en un bellísimo artículo publicado en Geometry and Topology, en 2013, cuando contaba con la friolera de 80 años. En este artículo, comprueban una conjetura de Bosio y Meersseman al probar que algunas intersecciones asociadas con politopos simples son sumas conexas de productos de esferas. 

 Samuel Gitler recibió muchos premios y honores; en especial, sólo por mencionar uno, fue galardonado con el Premio Nacional de Ciencias por el presidente de México en 1976; fue presidente de la Sociedad Matemática Mexicana por el periodo 1967-1969, y fue miembro de El Colegio Nacional (una institución que agrupa a los artistas, científicos y escritores más notables de México) desde 1986 hasta el año de su fallecimiento.

La obra matemática de Gitler perdura en la escuela topológica mexicana; ha sido utilizada, por ejemplo, en el trabajo del primer autor sobre planeación motriz en robótica, así como en el trabajo del segundo autor sobre los monopolos magnéticos DPS. En un plano más personal, nuestras trayectorias profesionales hubieran sido inimaginables sin su amistad y apoyo incondicional.

Casi todos los trabajos de Gitler han sido publicados por El Colegio Nacional en forma facsimilar en sus Obras Completas en tres volúmenes por lo que las referencias a todos sus artículos mencionados aquí pueden encontrarse en esa obra publicada por El Colegio Nacional.

Referencias

[1] Gitler, S.: Obras, vol.1. El Colegio Nacional (2010).

[2] Gitler, S.: Obras, vol.2. El Colegio Nacional (2011).

[3] Gitler, S.: Obras, vol.3. El Colegio Nacional (2011).

Pensamientos de Samuel Gitler

Lo primero que se necesita para la comprensión de esta disciplina (las matemáticas) es leer en español, pues al entender un texto es posible apreciar y analizar un problema.


Samuel Gitler

 

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