Francisco Javier González Acuña es sin duda uno de los matematicos mas destacados que ha dado Mexico. Nacido en Tampico, Tamaulipas, el 21 de enero de 1942. Entre sus amigos y colegas es conocido simplemente como Fico. Estudió la licenciatura en matemáticas en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México, obteniendo el grado en 1963. Después, realizó estudios de doctorado en la Universidad de Princeton, obteniendo el grado en 1970, con la tesis On homology spheres, escrita bajo la dirección del eminente topólogo Ralph Fox, quien en ese tiempo era la figura central en Teorı́a de Nudos. En 1970 regresó a México y ha sido desde entonces un miembro destacado del Instituto de Matemáticas de la UNAM.
En sus más de 45 años de actividad cientı́fica, Francisco González Acuña ha sido un pilar del desarrollo de una comunidad de investigación en matemáticas en México con reconocimiento internacional. En particular, ha tenido una influencia monumental para el desarrollo de la topologı́a en nuestro paı́s, como un maestro inolvidable y como un investigador de primera lı́nea.
Su conocimiento profundo de varias áreas de las matemáticas sorprende a todos los que han tenido la oportunidad de hablar con él. Al preguntarle cualquier cosa, no responde de inmediato, sino que medita cuidadosamente y cuando da una respuesta, unos minutos, horas o dı́as después, esta resulta invariablemente mucho más interesante y más profunda que la pregunta original.
Ha hecho contribuciones muy importantes a la topologı́a de bajas dimensiones, su principal área de estudio. Sus artı́culos son de una calidad poco común, se distinguen por la profundidad de los resultados y por la precisión matemática con la que están escritos. Dos de ellos aparecieron en los Annals of Mathematics, la revista más prestigiada en matemáticas del mundo, que solo publica los resultados más originales y relevantes, y tiene varios artı́culos más de una calidad similar. La profundidad de sus resultados se refleja en el hecho de que han sido citados por los especialistas más reconocidos de esa área a nivel mundial.
Damos aquı́ un panorama de algunos de su más importantes contribuciones, sin el afán de ser exhaustivos, sino solo para ilustrar la profundidad y relevancia de su trabajo.
Su primer artı́culo, Independencia de la métrica en la C 0 topologı́a fina de un espacio de funciones, fue escrito cuando él era estudiante de licenciatura en la UNAM, y publicado en la revista Anales del Instituto de Matemáticas de la UNAM, ahora extinta. Ahı́ probó que el espacio de funciones continuas entre un espacio topológico X y un espacio métrico Y , no depende de la métrica de Y , sino solo de su topologı́a. Este es un resultado relevante que es poco conocido, probablemente porque fue escrito en español y en una revista de circulación reducida. Fico se interesó en este problema al leer un artı́culo de Whitehead donde prueba el teorema pero bajo la suposición de que Y es paracompacto. El resultado de Fico es tan poco obvio que a lo largo de los años han seguido apareciendo artı́culos con pruebas parciales, y otros artı́culos donde se afirma que el resultado es falso. Por esta razón, el artı́culo fue recientemente traducido al inglés y puede ser consultado en el ArXiv, con el titulo Independence of the metric in the fine C 0 topology of a function space. Seguramente, en los próximos años este artı́culo tendrá el reconocimiento que merece.
Este artı́culo muestra que González Acuña es un investigador nato, que desde que era estudiante de licenciatura se hacı́a preguntas interesantes y sabı́a como resolverlas.
Su tesis de doctorado, On homology spheres, es sobresaliente. Estudia a las esferas homológicas desde distintos punto de vista. Contiene gran cantidad de resultados, que bien podemos decir que contiene material suficiente para dos muy buenas tesis. Utiliza distintas técnicas para resolver los problemas, lo que es poco usual en una tesis de doctorado. En la primera parte estudia grupos de cobordismo de n-esferas homológicas suaves, y prueba que para n 6 = 3, tal grupo es isomorfo al grupo de esferas homotópicas suaves definido por Kervaire y Milnor. También considera el grupo de cobordismos de n-sferas homológicas encajadas en una m-esfera, y prueba que para n 6 = 3, 4, es isomorfo al grupo de parejas de n-esferas homotópicas encajadas en S m definido por Levine. Para hacer todo esto se necesita tener un amplio conocimiento de la topologı́a diferencial de variedades de dimensiones superiores. Para el caso n = 3, dicho grupo aún se desconoce, pero Fico estudió el epimorfismo de este grupo en Z 2 , lo que define el invariante μ. En la segunda parte de la tesis estudia las 3-esferas homológicas obtenidas por cirugı́a de Dehn en nudos. Primero, da una fórmula para calcular el μ-invariante de una esfera homológica obtenida por cirugı́a de Dehn en un nudo K, esta es simplemente μ = ν · χ, donde χ es el invariante Arf del nudo K y ν es un entero que indica la cirugı́a realizada; para obtener esta fórmula, es necesario un conocimiento profundo de la topologı́a de 4-variedades. Entonces él propone lo que es llamada la Propiedad P de un nudo, que fue considerada independientemente por R.H. Bing y J.M. Martin. Esta conjetura dice que si K es un nudo no trivial en la 3-esfera entonces solo la cirugı́a trivial puede producir una variedad simplemente conexa. Fico prueba esta conjetura para varias clases de nudos. El tercer capı́tulo de su tesis fue esencialmente publicado en el artı́culo Dehn construction on knots, que apareció en el Boletı́n de la Sociedad Matemática Mexicana en 1970. A pesar de estar publicado en México, es ampliamente citado. Poco después de que apareció el artı́culo de Fico, varios de sus resultados fueron generalizados en un artı́culo en Topology por el joven Cameron McA. Gordon, quien a la postre se convertirı́a en unos de los lı́deres mundiales en esta área, y quien ha sido colaborador de Fico. Finalmente mencionamos que la conjetura de la Propiedad P fue probada por T.S.
Mrokwa y P.B. Kronheimer en 2004.
Durante sus primeros años en el Instituto de Matemáticas, o sea durante los años 70 del siglo pasado, Fico estudió cuestiones algebraicas relacionadas con la topologı́a de nudos y 3-variedades que consideraba relevantes, algunas de las cuales habı́an sido propuestas por renombrados matemáticos. En uno de sus artı́culos más celebrados, Homomorphs of knot groups, da una solución positiva al problema U de la lista de Neuwirth, que dice que un grupo G es la imagen homomorfa del grupo fundamental del complemento de un nudo en S 3 si y solo si G es finitamente generado y tiene peso uno, es decir, es normalmente generado por un elemento. El propio Neuwirth, al conocer el resultado de Fico le escribió lo siguiente en una carta: “I have looked at your paper and you have a lovely and important result. I recommend that you aim very high in where you send the paper. I would try the Annals of Mathematics”. Siguiendo tal recomendación, el artı́culo fue publicado en Annals of Mathematics en 1975.
En la misma decada, Fico, en colaboración con José Marı́a Montesinos, dió una respuesta a lo que ellos llaman el último problema de Fox, pues apareció al final de una lista de problemas propuesto por Fox en 1962. Probaron que existen grupos de n-nudos, es decir grupos fundamentales de esferas anudadas S n en S n+2 , para n ≥ 2, que tienen una infinidad de puntas. En el mismo artı́culo caracterizan los grupos de n-nudos, n > 2, que tienen una infinidad de puntas. Dice J.S. Lomonaco en uno de sus artı́culos: “the examples of this paper are indeed remarkable”. Este artı́culo también fue publicado en los Annals of Mathematics en 1978. Cabe señalar que estos dos artı́culos del Annals contienen agradecimientos a John Milnor, uno de los matemáticos más renombrados del siglo pasado y medalla Fields en matemáticas, por los comentarios que hizo sobre los resultados de dichos artı́culos.
En los años 80, Fico regresó al estudio de cirugı́a de Dehn, esta vez para considerar el problema de cuando una cirugı́a de Dehn en un nudo produce una variedad reducible. Fico, en colaboración con Hamish Short, hace un estudio profundo de este problema desde un punto de vista algebraico. En el articulo Knot surgery and primeness, publicado en Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, proponen la famosa conjetura de los cables, que dice que solo cirugı́a en un nudo cable, a lo largo de la pendiente del anillo esencial del cable puede producir una variedad reducible. Esta conjetura ha recibido mucha atención y ha sido probada para muchas clases de nudos, pero aún permanece abierta. En particular, Mario Eudave Muñoz, actual colega de Fico y entonces estudiante en la UNAM, fue influenciado por dicho artı́culo y en su tesis doctoral, realizada en la Universidad de California, Santa Barbara, resolvió la conjetura para la clase de nudos fuertemente invertibles. Además de resultados relacionados con la conjetura de los cables este artı́culo contiene nuevos e interesantes resultados en teorı́a combinatoria de grupos. Estos resultados fueron usados por C. McA. Gordon y J. Luecke en la prueba que solo cirugı́a entera en un nudo puede producir una variedad reducible, lo que es un primer acercamiento a la conjetura de los cables.
Su trabajo principal en los años 80 es el artı́culo largo Imbedding of 3-manifolds groups, escrito en colaboración con Wilbur Whitten y publicado en Memoirs of the American Mathematical Society en 1992. Este libro, estudia en general el problema de como grupos de 3-variedades se encajan entre ellos y como tales encajes se relacionan con mapeos esenciales entre las variedades. Contiene muchos resultados interesantes sobre mapeos entre exteriores de nudos en la 3-esfera. Por ejemplo, se muestra que un mapeo cubriente entre exteriores de nudos es necesariamente un cubriente cı́clico; el exterior de un nudo es cubierto por a lo mucho dos exteriores de nudos; el exterior de un nudo cubre a lo más un número finito de exteriores de nudos. De esto deducen que el grupo de un nudo contiene un subgrupo de ı́ndice finito que es grupo de un nudo, solo si hay una cirugı́a en este nudo que produce un espacio lente. Cabe señalar que hay gran interés por determinar todos los nudos con cirugı́as que producen espacios lente. Este libro recibió una reseña larga y detallada en los Mathematical Reviews de la AMS de parte de K. Johannson, una de la figuras prominentes en la topologı́a de 3-variedades.
A finales de los años 80, Fico se interesó en la categorı́a de Lusternik-Schnirelmann, un tema clásico en topologı́a, que habı́a sido considerado por Ralph Fox, y que es ahora un tema activo de investigación, considerado por matemáticos trabajando en varias áreas de la topologı́a. De hecho Fico se interesó en este problema por la sugerencia de algunos de sus colegas en el Instituto, Monica Clapp y Luis Montejano, quienes en ese tiempo estaban interesados en la categorı́a de Lusternik-Schnirelmann y sus posibles generalizaciones. El problema es, dado un espacio topológico X, ¿cual es el mı́nimo número de elementos que una cubierta abierta de X puede tener, dado que cada elemento de la cubierta es contraı́ble en X? Este número es la llamada categorı́a de Lusternik-Schnirelmann de un espacio topológico X, cat(X). Fico quedo sorprendido al saber que este invariante, definido en los años 30 del siglo pasado, no se habı́a calculado para variedades cerrradas. Fico y José Carlos Gómez Larrañaga consideraron este problema para el caso de 3-variedades. Para una n-variedad se sabe que 2 ≤ cat(M ) ≤ n + 1. En el artı́culo Lusternik-Schnirelmann category of 3-manifolds, publicado en Topology en 1992, dan una caracterización completa de las 3-variedades con cat(M ) igual a 2 o 3, módulo la conjetura de Poincare. Prueban que cat(M ) = 2 si y solo si M es una esfera homotópica y cat(M ) = 3 si y solo si π 1 (M )) es un grupo libre. Puede decirse que este resultado es ahora un teorema clásico en la categorı́a de Lusternik-Schnirelmann, pues se han dado nuevas pruebas, y una de ellas aparece en una monografı́a sobre este tema que contiene los resultados más relevantes de la teorı́a (O. Cornea, G. Lupton, J. Oprea, D. Tanré, Lusternik-Schnirelmann Category, Mathematical Surveys and Monographs, Volume 103, American Mathematical Society). Además, resultados de este artı́culo de Fico y J.C. Gómez Larrañaga fueron utilizados por L. Bessières, G. Besson, M. Boileau, S. Maillot y J. Porti, en la prueba de un teorema sobre colapsos, que es el último paso necesario para la prueba de Perelman de la Conjetura de Geometrización de Thurston (Geometrisation of 3-manifolds, EMS Tracs in Mathematics, 13. European Mathematical Society (EMS), Zurich, 2010. x+237 pp.).
En las siguientes dos décadas, el tema de categorı́a y sus generalizaciones ha sido uno de los temas principales de investigación de Fico, produciendo más de 10 artı́culos en colaboración con J.C. Gómez Larrañaga y W. Heil. Por ejemplo, en uno de sus artı́culos más recientes, determinan la categorı́a amenable de 3-variedades, resultado publicado en el artı́culo Amenable category of 3-manifods, publicado en Algebraic and Geometric Topology en 2013.
También en los años Fico 90 tiene el artı́culo On the character variety of group representations in SL(2, C) and P SL(2, C), escrito en colaboración con J.M. Montesinos y publicado en Mathematische Zeitschrift en 1993. En este artı́culo se da una prueba larga y elemental de un resultado conocido, que el conjunto de representaciones de un grupo finitamente generado G en SL(2, C) forma un conjunto algebraico X(G). La pruebas anteriores usan ideas sofisticadas de la teorı́a de representaciones. Esto continua el trabajo de Magnus y Vogt, que data de hace más de 100 años. Este es un trabajo notable y ha sido ampliamente citado. Su mérito radica en que dan un conjunto explı́cito de polinomios que definen X(G), lo que permite calcular X(G), algo que en general es muy difı́cil. Como dice S. Xambó en su artı́culo sobre J.M. Montesinos: “This paper is outstanding for its technical virtuosity in providing an ‘elementary’ deduction of the equations defining the character variety of group representations in SL(2, C) [José Marı́a Montesinos Amilibia, Biographical Sketches, en el libro: A mathematical tribute to Profesor José Marı́a Montesinos Amilibia, Universidad Complutense de Madrid].
En los años 1990 y 2000, Fico continuó con sus intereses en propiedades algebraicas de grupos de nudos, produciendo varios artı́culos en colaboración con ArturoRamı́rez. H. Zieschang escribió alguna vez que una de las conjeturas más importantes de teorı́a combinatoria de grupos relacionadas con topologı́a es la Conjetura de Kervaire, la cual enuncia que si G es un grupo no trivial, entonces el producto libre G ∗ Z no puede ser normalmente generado por un solo elemento. Uno de los resultados principales obtenidos por Fico y Ramı́rez es una formulación equivalente de la conjetura de Kervaire en términos de la teorı́a de nudos. Probaron que esta conjetura es equivalente a lo que ellos llaman la Conjetura Z: Sea F una superficie incompresible, conexa, orientable y no-separante (una superficie ICON) propiamente encajada en el exterior E(K) de un nudo K en S 3 . Entonces el grupo fundamental del espacio cociente E(K)/F es isomorfo a Z. Recientemente, Jesús Rodrı́guez Viorato, quien fuera estudiante de Fico, ha probado la conjetura para una clase de nudos de Montesinos, y Mario Eudave Muñoz, un colega de Fico, ha dado evidencia sobre la validez de la conjetura.
Los artı́culos de Fico tienen muchos resultados y son producidos sobre largos periodos de tiempo, hasta que han madurado suficientemente. Por ejemplo hay artı́culos que han tardado más de 25 años en aparecer. Un ejemplo es el artı́culo Unsolvable problems about higher dimensional knots and related groups, escrito en colaboración con C. Gordon y J. Simons y publicado en L’Enseignement Mathématique en 2010. En este artı́culo consideran clases K n de grupos fundamentales de complementos de n-esferas en S n+2 , para n ≥ 3, y otras clases de grupos fundamentales de complementos de superficies en 4-variedades. Prueban que no puede existir un algoritmo que pueda decidir que un grupo en una clase A pertenece a un grupo de una clase más pequeña B, bajo la suposición que A ⊃ K 3 . En particular, prueban que no existe un algoritmo para decidir si un n-nudo es trivial para n ≥ 3. Esto está en contraste con 1-nudos, o sea nudos clásicos, donde se conoce que existe un algoritmo que determina la trivialidad o no de un nudo dado. El caso para 2-nudos aún permanece abierto. Aquı́ debemos decir que este es un tema que es raramente considerado por topólogos de dimension baja, el probar que no existe tal o cual algoritmo, pues requiere conocimientos de técnicas que poco tienen que ver con dicha clase de topologı́a.
La influencia de Fico va mucho más allá que su investigación. Ha dirigido varias tesis doctorales: Marı́a de la Paz Álvarez Scherer, Vı́ctor Núñez Hernández, Enrique Ramı́rez Losada, Lorena Armas Sanabria y Jesús Rodrı́guez Viorato. Pero además de las tesis que ha supervisado directamente, ha influenciado a todos los matemáticos mexicanos que han trabajado en áreas relacionadas, por ejemplo José Carlos Gómez Larrañaga, Arturo Ramı́rez, Mario Eudave Muñoz, Max Neumann Coto, Hugo Cabrera Ibarra, Jair Remigio Juárez, Oyuki Hermosillo Reyes, Fabiola Manjarrez Gutierrez, además de Alejandro Dı́az Barriga, Leopoldo Román y Francisco Marmolejo Rivas, que son algebristas. Muchos de los matemáticos influenciados por Fico son ahora investigadores por sus propios méritos. Además, la influencia de Fico va mucho más alla de nuestras fronteras. Un ejemplo es el referente a Hamish Short, un matemático escocés que llegó a México a principios de los 80, a realizar una estancia posdoctoral bajo la supervisión de Fico. Durante su estancia, Fico y Short produjeron dos artı́culos de investigación de gran calidad que son ampliamente citados. Short trabaja ahora en Francia y es un reconocido matemático, pero sin duda parte de su formación se la debe a su colaboración con Fico. Otro ejemplo es el referente a José Marı́a Montesinos, su gran amigo y colaborador. Se conocieron de matera epistolar y después tuvieron una muy fructı́cera colaboración a lo largo de muchos años. Hace poco la Universidad Complutense de Madrid, publicó un libro en homenaje a Montesinos, y en él se menciona a Fico como uno de los matemáticos que tuvieron gran influencia en Montesinos. La gran estima de Montesinos por Fico puede verse en la reseña que escribió en ocasión de los 60 años de Fico y que apareció en la Carta Informativa de la Sociedad matemática Mexicaca en 2002 (posteriormente fue traducida y apareció en el Volume 14, special issue, del Boletı́n de la Sociedad Matemática Mexicana).
A pesar de su carga de trabajo, Fico siempre se ha dado tiempo de colaborar en la vida institucional. Fue miembro de la Comisión Dictaminadora del Instituto de Matemáticas, y también por varios años perteneció a la Comisión Dictaminadora del SNI. Fico se tomaba estos trabajos muy en serio, haciendo evaluaciones profundas, llegando incluso a leer artı́culos de los evaluados, dando trato igualitario a todos. Además fue por muchos años editor del Boletı́n de la Sociedad Matemática Mexicana. En estos últimos años ha sido el Coordinador de la Biblioteca de la Unidad Cuernavaca del Instituto.
En 2002, cuando Fico celebró su 60 aniversario, se organizó un congreso internacional para tal ocasión. Este fue llamado FICOFEST: A Conference in Low Dimensional Topology to celebrate the Sixtieth Birthday of Francisco Javier “Fico” González Acuña. Fue celebrado en las instalaciones de la Universidad Autónoma de Yucatán, en la ciudad de Mérida, Yucatán, México, del 6 al 13 de diciembre de 2002. Esta reunión consistió de 28 pláticas invitadas impartidas por renombrados topólogos de alrededor del mundo. Como parte de esta celebración, un volumen especial del Boletı́n de la Sociedad Matemática Mexicana fue dedicado al FICOFEST (Vol. 14, special issue), el cual consiste de 35 artı́culos de investigación, muchos de ellos por participantes en el congreso y otros por topólogos que fueron invitados a participar en el volumen especial. En el volumen especial aparecen artı́culos de gran calidad, y en total el volumen ha recibido más de 100 citas. Cabe decir que tanto el congreso como el número especial del Boletı́n tuvieron una gran aceptación por parte de la comunidad internacional, debido seguramente al prestigio que tiene Fico. Dicho volumen especial también contiene una reseña de la vida y obra de Fico, escrita por José Marı́a Montesinos, donde describe con gran clase la manera de trabajar de Fico.
En 2012, cuando Fico celebró su 70 aniversario, se organizaron dos eventos para tal ocasión. El primero de ellos fue un evento local, llamado 70 años de Fico y realizado en las instalaciones del Instituto de Matemáticas en Cuernavaca el 7 septiembre de 2012, que consistió de varias pláticas cortas sobre la vida y obra de Fico. El segundo de ellos, llamado School on Knot Theory and 3-manifolds, to celebrate the 70th birthday of Fico González Acuña, se realizó en el CIMAT, en la ciudad de Guanajuato, del 17 al 20 de diciembre de 2012. Tuvo un formato de escuela, y consistió de una serie de minicursos y pláticas de investigación presentados por 11 renombrados topólogos, además de pláticas cortas de investigación impartidas por estudiantes de doctorado o recién doctorados. Participaron investigadores de Estados Unidos, Francia, Japón y México. Otra vez, como parte de esta celebración, un volumen especial del Boletı́n de la Sociedad Matemática Mexicana fue dedicado al 70 aniversario de Fico, el cual consiste de 23 artı́culos de investigación. Dicho número especial fue publicado en el volumen 20, número 2, de 2014. Cabe decir que pocos matemáticos han recibido el honor de tener un número especial del boletı́n dedicados a ellos, y además Fico lo ha tenido en dos ocasiones. Desde 2011,se ha organizado una Escuela de Nudos y 3-variedades dirigida a estudiantes de licenciatura y maestrı́a. A partir de 2015 lleva el nombre Escuela Fico González Acuña de Nudos y 3-Variedades.
En conclusión, Fico es un matemático que ha dedicado su vida a la investigación de alta calidad. Publico su primer trabajo siendo estudiante de licenciatura e hizo una tesis de doctorado excepcional. Se mantuvo haciendo investigación de gran calidad después de su doctorado, como puede verse por sus artı́culos publicados en los Annals of Mathematics, razón por la cual, al formarse el SNI en 1984, Fico recibió la distinción de nivel III en dicho sistema, misma que ha mantenido desde entonces. Su trabajo es ampliamante reconocido en el extranjero, sus artı́culos han recibido más de 600 citas. Fico ha sido un referente para las nuevas generaciones que han llegado al Instituto de Matemáticas a partir de los años 80, pues ha mantenido su estilo, el de publicar solamente artı́culos trascendentes y de alta calidad.
Mario Eudave Muñoz
Instituto de MAtemáticas de la UNAM
Mayo 2017