Alberto Verjovski

El Dr. Alberto Verjovsky es sin duda uno de los matemáticos más prominentes que hemos tenido, no sólo en México sino en América Latina, y ha tenido una influencia profunda en la matemática mundial.

(De CONCURSO REGIONAL DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS)

El Dr. Alberto Verjovsky es sin duda uno de los matemáticos más prominentes que hemos tenido, no sólo en México sino en América Latina, y ha tenido una influencia profunda en la matemática mundial. A continuación damos una breve semblanza del Dr. Verjovsky y describimos en forma somera algunos de sus principales logros. Alberto Verjovsky realizó sus estudios de licenciatura en la Facultad de Ciencias de la UNAM, de 1962 a 1965, y su tesis fué dirigida por el célebre matemático Solomón Lefschetz, quien lo impulsó a hacer sus estudios de posgrado en la Universidad de Brown, E. U. A., con Mauricio Peixoto, destacado matemático brasileño que trabajaba en Brown en esa época.

Peixoto era en esos momentos uno de los principales precursores de la teoría moderna de sistemas dinámicos, junto con S. Smale. Verjovsky realizó su tesis de maestría con Peixoto, y planeaba continuar con él para su doctorado, pero Peixoto regresó a Brasil y Alberto Verjovsky tuvo que buscar nuevos horizontes. También tuvo que enfrentar el problema de haber agotado el tiempo que tenía con beca para su doctorado. Para su buena fortuna y visionario, supo de los problemas ecnómicos de Verjovsky y le ofreció apoyo a través del CIEA (hoy CINVESTAV) del I. P. N., para que pudiera continuar con sus estudios de doctorado, que finalmente concluyó en 1973 bajo la dirección de Jacob Palis.
A su regreso a México Verjovsky se incorporó como investigador del CIEA, y se encontro aislado académicamente, pues era el único matemático mexicano trabajando en la novedosa área de sistemas dinámicos. Y así siguió hasta principios de los 1980s, cuando en el Instituto de Matemáticas de la UNAM, un grupo de jóvenes investigadores, encabezados por Xavier Gómez Mont y José Seade, empezaron a interesarse en esta área de investigación. Verjovsky comenzó a participar en el seminario semanal del Instituto de Matemáticas en este tema, y así gracias a su entusiasmo, generocidad y, por que no decirlo, sabiduría, comenzó a formarse el grupo mexicano de investigación en sistemas dinámicos, grupo que hoy en día es conocido y reconocido internacionalmente, con investigadores en las tres sedes del Instituto de Matemáticas (Ciudad Universitaria, Morelia y Cuernavaca), en la Facultad de Ciencias de la UNAM, en el CIMAT de Guanajuato, y en las universidades de Tabasco, Yucatán y Guanajuato. Verjovsky ha sido, y continúa siendo, el lider académico de este grupo.
En 1986 se fue a Trieste, Italia con el puesto de Coordinador de la Sección de Matemáticas del Centro Internacional de Física Teórica ICTP), puesto en el que trabajó hasta 1993. Desde ahí jugó un papel preponderante para el apoyo de las matemáticas en México y América Latina en general, entre otras cosas, invitando a jóvenes investigadores mexicanos a realizar estancias de investigación en el ICTP, y apoyando con financiamiento del ICTP numerosas visitas a México de distinguidos matemáticos de diversos países y diferentes áreas de trabajo.

A partir de 1993 y hasta 1996 tuvo un puesto de Profesor (“Première Classse”), en la Universidad de Lille. En 1996 vino a México con licencia de la Universidad de Lille para apoyar la formación de la Unidad Cuernavaca del Instituto de Matemáticas de la UNAM, que en ese año comenzó sus actividades. Permaneció un año en Cuernavaca al termino del cual decidió aceptar el ofrecimiento de una plaza de investigador en este Instituto de la UNAM, y regresó a nuestra Universidad.

Desde entonces su presencia en México, sin duda, ha elevado el nivel de las matemáticas en nuestro país tanto a través de sus trabajos de investigación con investigadores de nuestro país, como por la dirección de tesis, y por la manera como enriquece el ambiente académico en cualquier lugar donde se encuentra. Como dice el profesor Dennis Sullivan (Einstein Chair de la Universidad de Nueva Yoprk) en su carta de apoyo a esta nominación que estamos anexando,
“In the arca of mathematical animation and inspiration, Alberto Verjovsky is not only the best example alive today, but possibly the best there ever has been or the best there ever will be”. También destaca el enorme número de grandes matemáticos y de jóvenes brillantes, que han visitado México gracias a la presencia de Alberto Verjovsky. Gente como los medallistas Fields John Milnor, Stephan Smale, William Thurston y Jean -Chistophe Yoccoz, Dennis Sullivan (quién tiene la “Einstein Chair”), y muchos más.

La contribución a la matemática de Alberto Verjovsky en sus trabajos de investigación es vasta y de altísimo nivel. Como muestra de esto, basta mencionar que, entre otras publicaciones, ha publicado en: Annals of Mathematics, 2 artículos en Crelle Journal fur die Reine und a. Mathem. (la revista más antigua de matemáticas, en la cual ha publicado H. Poincaré, entre otros), varios trabajos en Mathematische Annalen, Topology, etc. Ha sido invitado como conferencista a congresos de muy alto nivel, como por ejemplo la celebración del 75 aniversario de John Milnor (Medalla Fields), donde hubo solamente 18 conferencistas, o el reciente congreso en Paris en Memoria de Adrien Douady. Y aún así, podemos afirmar que su contribución a la matemática mundial a través de las ideas, sugerencias y el entusiasmo que ha aportado a distintos matemáticos es todavía mas grande. Por ejemplo en Francia, Etienne Ghys, uno de los mas destacados matemáticos del momento. Miembro Correspondiente de la Academia Mexicana de Ciencias, fue en la práctica su estudiante de doctorado; Marco Brunella, máxima autoridad mundial en el área de foliaciones holomorfas, fue su estudiante de doctorado; Laurent Meersseman, joven investigador del CNRS, también fue su estudiante. Y en México ha formado directamente a varios estudiantes de doctorado, e indirectamente ha sido una influencia muy poderosa para conformación de grupos de investigación en sistemas dinámicos, geometría y topología. Realmente su contribución no se puede medir por el número de artículos publicados o el número de referencias a sus trabajos: la obra de Alberto Verjovsky trasciende esos cuantificadores. Por ejemplo, el profesor Dennis Sullivan nos ha platicado de la contribución fundamental que Verjovsky hizo en su juventud, a la teoría de las foliaciones, área en la que después trabajarían matemáticos de la talla de R. Bott (Profesor en Harvard ganador del Wolf Prize en 2000 y, entre otras muchas cosas, director de tesis de S. Smale y D. Quillen, ambos medallistas fields) y W. Thurston.

A continuación describimos someramente sus principales contribuciones en artículos de investigación.

Su tesis de doctorado Codimension one Anosov flows [|] contiene contribuciones fundamentales para el entendimiento de los flujos de Anosov,que son de importancia central en sistemas dinámicos. Entre otras cosas, demuestra que todo flujo de Anosov, con cierta propiedad, en variedades de dimensión al menos 3, es topológicamente transitivo. También responde varias preguntas planteadas por Smale. Sus resultados ha sido usados entre otras gentes, por Joe Plante, Etienne Ghys, Brian Marcus y Sergio Fenley en revistas como Annals of Mathematics. Journal of Differential Geometry, Topology, Commentary Math, Helv. Su tesis condujo a la hoy conocida Verjovsky Conjecture, que fue recientemente demostrada por Masayuki Asaoka (On invariant volumes of codimension -one Anosovflows and the Verjovsky conjecture math/07033349). La solución de esta conjetura completa una clasificación de flujos de Anosov que fue una de las preguntas fundamentales en la teoría de sistemas dinámicos que planteó Smale.
Su pionero artículo A uniformization theorem for complexes foliations by Riemaniann surfaces [2] comenzó el estudio de “Teoremas de uniformización foliados”, área de la matemática en la que hoy trabajan distinguidos matemáticos en diversos paises. El teorema de uniformización de Riemann Koebe es uno de los resultados de la matemática mundial. Este teorema dice que toda superficie de Riemann simplemente conexa es isomorfa al plano complejo, a la espera de Riemanno al plano complejo menos un punto. Verjovsky dio una versión foliada de este teorema, para variedades complejas equipadas con una foliación por superficies de Riemann. Usando este trabajo, recientemente escribió, en colaboración con Matilde Martínez, un trabajo generalizando un importante teorema de Hedlund al caso de laminations por superficies de Riemann, demostrando que el flujo horocíclico en el haz tangente unitario en una laminación compacta por superficies de Riemann hiperbólicas es minimal, ó las hojas de la laminación son las órbitas de una acción localmente libre del grupo afín bi-dimensional.Por otro lado, su trabajo A smoth foliations of the 5-Sphere by complex surfaces [3] in Annals of Mathematics, en colaboración Laurent Meersseman, da el primer ejemplo no trivial de una foliación diferenciable de codimensión 1 en variedades compactas de dimensión mayor a 2, por variedades complejas. Además, la foliación que a ellos obtienen es la esfera S5, lo cual es sumamente sorprendente, y abre un posible camino para responder uno de los principales problemas abiertos de la geometría contemporanea: la existencia de estructuras complejas en la esfera S6.

Sus artículos [5,6,7,8], en colaboración con Xavier Gómez Mont, José Seade, Marcelo Aguilar y Mihai Tibar, desarrollan la teoría de un índice de campos vectoriales en variedades singulares, que generaliza el importante índice local de Poincaré-Hopf. Este nuevo índice se conoce internacionalmente como el índice GSV de campos vectoriales (por el trabajo seminalde Gómez-Mont, Seade y Verjovsky), y ha sido usado por numerosos autores en diversas áreas, tanto en sistemas dinámicos (por ejemplo por M. Brunella, T. Suwa, L. G. Mendez, Khanedhani, etc.) como en teoría de singularidades (Jean Paul Brasselet, W. Ebeling, SM. Gusein-Zade and Lê Dung Tráng, etc.). Hoy en día, se conoce ya que el índice GSV se puede interpretar en términos de residuos de Baun -Bott, o usando algebra homológica y el complejo de Koszul, o en varias otras formas diferentes. También se ha estudiado el índice correspondiente para la l-formas diferenciables, y se ha obtenido importantes relaciones entre el índice GSV y las clases características de Fulton-Johnson para variedades singulares.

Su trabajo Discrete measures and the Riemann Hypothesis [9] traduce la hipótesis de Riemann a un problema en sistemas dinámicos y da condiciones necesarias y suficientes para su solución en términos de la taza de convergencia de ciertas medidas discretas. Este trabajo ha interesado a especiales en la hipótesis de Riemann de la talla de Don Zagier y Y, Manin (ambos del Instituto Max Planck; el segundo medallista Fields), quienes han invitado a Verjovsky varias veces a su intituto. El trabajo de Verjovsky aparece citado en varios libros recientes sobre la hipótesis de Riemann como por ejemplo en the Riemann Hypothesis, A resoooource for the Aficionado and Virtuoso Alike, de Borwein. P.: Choi, S.: Rooney. B.;Weirathmueller y publicado por la Sociedad Matemática de Canadá, en el cual los autores dicen: “In 1994 Verjovsky proves that the Riemann Hypothesis is equivalent to a problem about the rate of convergence of certain discrete measures. This is the only contribution of that year to the Riemann hypothesis”.
Los trabajos [10,11,12] en colaboración con José Seade abrieron un campo importante de investigación al introducir el concepto de “complex Kleinian groups” y mostrar que esta teoría contiene a, pero es mas rica que, la teoría clásica de grupos kleinianos, en la cual han trabajado varios medallistas Fields. Los resultados de Seade-Verjovsky tienen implicaciones importantes tanto para la geometría compleja como para la dinámica holomorfa. Desde el punto de vista geométrico, sus métodos permiten una construcción novedosa de variedades complejas con estructura proyectiva, que generaliza a dimensiones altas la construcción de Roger Penrose de “Pretzel Twistor Spaces”. Además demuestran que para estas variedades se tiene una teoría de Teichmuller análoga a la importante teoría clásica para superficies de Riemann, y calculan la dimensión del correspondiente espacio de moduli. Por otro lado, desde el punto de vista de la dinámica, sus trabajos son una contribución significativa al conocido “diccionario de Sullivan” en dimensiones altas. Someramente, este diccionario establece paralelos importantes entre la teoría de iteración de funciones (conjuntos de Fatou, Julia y
Mandelbrot, etc.) y la dinámica de grupos kleinianos.Después de escuhar una conferencia en el tema, el profesor Kyoji Saito, del Research Institute for Mathematical Sciences de Kyot, colega del medallista fields Shigefumi Mori, dijo “This is openning a whole new area of research”. Hoy en día han sido presentadas dos tesis doctorales en México en ese tema, hay otras dos en proceso, y los jóvenes mexicanos han escrito ya 6 artículos de investigación sobre grupos Kleinianos complejos.

Los trabajos [13,14] en colaboración con Santiago López de Medrano [13] y Laurent Meersseman [14], contienen una coonstrucción novedosa de variedades complejas a través de acciones no-lineales de Ck en Cn, k < n, fortaleciendo la famosa conjetura de Bogomolov. Su construcción aporta también una forma novedosa y sumamente interesante de estudiar las variedades tóricas. Las variedades que ellos construyen están siendo estudiadas por diversos matemáticos (J.-J. Loeb, M. Nicolau, F. Bozio, etc.)y se conocen internacionalemente como “variedades LVM” por López de Medrano , Verjovsky y Meersseman.

Recientemente el matemático japonés Masayuki Asaoka resolvió la "Conjetura de Verjovsky", la cual que estuvo sin resolver durante más de 35 años. Esta investigación aparece en la prestigiosa revista revista Inventiones Mathematicae (On invariant volumes of codimension-one Anosov flows and the Verjovsky conjecture Asaoka, Masayuki. Inventiones mathematicae, Volume 174, Number 2, November 2008 , pp. 435-462 (28)). Este resultado cierra un capítulo importante de los sistemas de Anosov puesto que da una clasificación completa de estos sistemas en el caso de codimensión uno. Esto responde completamente un pregunta propuesta por Stephen Smale (Medallista Fields) en los años 60. Esta investigación se apoya fuertemente en los resultados de Alberto Verjovsky sobre flujos de Anosov y es uno de los resultados más importantes en el campo de los sistemas dinámicos en los últimos años.

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