El Instituto de Matemáticas y la Facultad de Ciencias

Las instalaciones para impartir la carrera de Matemáticas estaban entonces principalmente en el Palacio de Minería.

Mis maestros en el primer año eran: Alberto Barajas, en Geometría Moderna; Enrique Valle, en Álgebra; Carlos Graef, en Geometría Analítica y Javier Barros Sierra, en Cálculo. Todos ellos eran personas muy notables y la escuela era algo totalmente diferente de lo que yo había conocido.

Carlos Graef nos hablaba en su clase del grupo de simetrías de cuadrado, y recuerdo en el pizarrón un cuadrado con letras gigantes en las esquinas que se usaban, combinándolas, para indicar los movimientos del cuadrado.

El Shively era el libro de Geometría Moderna; en Cálculo se usaba un libro de Barros y Vázquez. Graef nos recomendó un libro de Félix Klein.

Los recuerdos de los años siguientes son más vagos. Tomé el curso de Álgebra Moderna con Alberto Barajas, donde seguimos el libro de Birkhoff y McLane, y también el Van der Waerden, que lo leíamos en alemán. Vázquez y Barajas habían hecho una traducción al español.

En esa época visitábamos la Librería Francesa, en donde encontramos una serie de libros que trataban las Matemáticas desde el principio. Los libros de Bourbaki nos sirvieron para llenar las lagunas que teníamos y los empezamos a leer en el Café París; así aprendimos Álgebra Lineal, Topología de Conjuntos, etcétera.

Recuerdo también el libro de Alexandrof y Hopf con el que el doctor Vázquez nos daba clase de Topología.

En aquel tiempo, además de estudiar, daba yo clases en la Escuela Nacional Preparatoria.

El escenario de todo esto era el Palacio de Minería: con meteoritos en la entrada, las amplias escaleras, los corredores y, al subir al segundo piso por la escalera principal, se encontraban a la derecha, y al final de un corto corredor, dos salones que ocupaba el Instituto de Matemáticas; en uno estaba sólo el director, don Alfonso Nápoles Gándara; en el otro, al entrar, se veían cuatro o cinco escritorios, ocupados, creo recordar, por Roberto Vázquez, Francisco Zubieta, Enrique Valle y, me parece que Gonzalo Zubieta, que era bibliotecario. Emilio Lluis también fue bibliotecario.

Más tarde ingresaron Guillermo Torres y José Adem y, con el tiempo, Gonzalo, Emilio y yo también ingresamos al Instituto como académicos; al principio, yo era como ayudante de investigador.

A fines de los años cuarenta, en el verano de cada año, teníamos la visita del profesor Solomon Lefschetz. Él había sido jefe del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Princeton. Aquí en México encontró estudiantes brillantes, como Guillermo Torres y José Adem, a los que invitó a estudiar su doctorado en Princeton. Posteriormente, en los años cincuenta, y también por invitación del profesor Lefschetz, llegué yo a la Universidad de Princeton, para estudiar la maestría en Matemáticas, pero esto lo comentaré más adelante y, por ahora, daré un brinco para encontrarme de regreso en Ciudad Universitaria.

Cuando volví de Princeton, el Instituto ocupaba los pisos sexto y séptimo de la Torre de Ciencias. El director era don Alfonso Nápoles Gándara. Seré breve al referirme a este periodo: tuvimos muchos visitantes, ingresaron al Instituto muchos investigadores; todos estos detalles están en informes de los directores de esa época.

Organizábamos seminarios con la participación de casi todos los investigadores y muchos estudiantes. Un seminario importante, que recuerdo, fue el que tuvimos sobre el libro de Cartan Elienberg. También entonces empezamos a estudiar representaciones con el libro de Reiner.

Después del doctor Nápoles, el director fue el doctor Vázquez y después me tocó serlo a mí. Quiero resaltar aquí, finalmente, la figura que para mí fue la más importante de ese periodo: la de Roberto Vázquez, que con su honestidad intelectual y firmes principios guió al Instituto en esos tiempos difíciles.

 

Regreso ahora a los años cincuenta, en que llegué a la Universidad de Princeton para estudiar la maestría en Matemáticas. De las clases que tomé en esa universidad recuerdo especialmente las de Análisis, Álgebra y Topología Algebraica, impartidas por tres grandes matemáticos: Salomon Bochner, Emil Artin y Norman
Steenrod.

En aquella época, coincidió mi estancia con la de José Adem, el cual había obtenido resultados importantes a través de las llamadas relaciones de Adem, que resolvían problemas sobre los grupos de homotopía de esferas. Estaban también Juan Morcos y el doctor Roberto Vázquez.

Después de dos o tres años obtuve la maestría y regresé a México. Traía conmigo un tema para desarrollar mi tesis doctoral, el cual me había sido propuesto por el profesor Steenrod.

El problema era calcular el anillo de cohomología del grupo simétrico; esto estaba relacionado con los trabajos de José Adem y con ciertas operaciones, las potencias reducidas, definidas por Steenrod.

 

El anillo de cohomología de un grupo era entonces un nuevo concepto. Se había definido y probado su existencia, se conocía la cohomología de algunos grupos simples, pero, en general, el problema de la determinación de la cohomología de un grupo requería de un complejo de cadenas en donde la dimensión en el
grado n era el orden del grupo elevado a la n.

En los veranos de los años siguientes, Norman Steenrod estuvo en México. Terminé mi tesis doctoral, regresé a Princeton para presentarla y obtuve mi doctorado.

La contribución de mi tesis fue, en primer lugar, la determinación de la cohomología de un grupo muy complicado. Esto respondió algunas preguntas acerca de las potencias reducidas, pero lo más importante de la tesis fue un procedimiento para obtener la cohomología del grupo de algunos subgrupos elementales.
Ese método fue después generalizado por otros matemáticos.

Los cálculos en ese primer trabajo fueron hechos con coeficientes en un campo. Posteriormente, seguí trabajando, en colaboración con Emilio Lluis, en calcular la cohomología de otros grupos, pero ahora con coeficientes enteros.

En los últimos años he colaborado con Emilio Lluis, Gerardo Raggi y Rodolfo San Agustín en Geometría Discreta.

Por ser ése un tema en donde las definiciones iniciales se expresan en términos sencillos: puntos, rectas y gráficas, trataré de explicar lo necesario para enunciar el resultado principal de nuestro último trabajo.

En él tratamos los diagramas de Dynkin, los cuales son conocidos por los físicos y aparecen en muchas partes de las Matemáticas: grupos finitos de reflexiones, formas cuadráticas positivo definidas, etcétera.

Un espacio parcialmente lineal de orden dos es algo parecido a una gráfica; en una gráfica tenemos un conjunto de vértices y un conjunto de aristas que son conjuntos de dos vértices.

En el caso del espacio, tenemos un conjunto, que llamamos de puntos, y un conjunto de rectas que son conjuntos de tres puntos. Para los espacios, se pide adicionalmente que por dos puntos pase cuando mucho una recta. Todo subconjunto de uno de estos espacios se puede considerar como una gráfica, en la que sus aristas son las parejas de puntos colineales del subconjunto.

Otra cosa que nos interesa es el subespacio generado por un subconjunto de puntos del espacio; dicho subespacio se obtiene agregando al subconjunto los puntos de las rectas que tienen dos puntos en éste, con el nuevo subconjunto así obtenido, se repite el proceso y esto se continúa haciendo hasta que, si una recta tiene dos puntos en el último subconjunto formando, entonces toda la recta está contenida en él.

Si consideramos una familia de espacios parcialmente lineales y una gráfica fija, decimos que la gráfica es un diagrama para la familia si todos los subespacios generados por subconjuntos de los espacios de la familia que sean isomorfos, como gráficas, a la gráfica dada, son isomorfos entre sí.

Los espacios de Fischer son espacios parcialmente lineales que aparecen con relación a los grupos de 3-transposiciones.
Ellos contienen, entre sus elementos de orden dos, un subconjunto que es un espacio parcialmente lineal que lo determina. Estos grupos fueron definidos y clasificados por B. Fischer; al clasificarlos aparecieron, entonces, tres nuevos grupos simples esporádicos; el ejemplo mas conocido es el grupo simétrico y el espacio que aparece tiene como puntos sus transposiciones.

 

Con todos estos antecedentes, podemos enunciar el resultado de nuestro último trabajo.

En la familia de los espacios de Fischer, las únicas gráficas que son diagramas son los diagramas de Dynkin.

Este resultado nos hace reflexionar sobre la pregunta: ¿Las Matemáticas se inventan o se descubren?

Humberto Cárdenas

México 2003